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구의 부피 적분 기본 원리 이해하기 : 네이버 블로그
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구의 부피 구하는 방법 – 구의 부피 공식 유도
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구의 부피 / 겉넓이 공식 정리 (+예시 풀이)
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- Most searched keywords: Whether you are looking for 구의 부피 / 겉넓이 공식 정리 (+예시 풀이) 저 공식은 “적분”을 이용해서 구한 공식인데요. 아직까지 미분 / 적분을 이야기 하는 것은 너무 심오한 이야기가 되기에, 간단하게 구의 부피와 겉 … 안녕하세요. 훈릴스입니다. 오늘은 구의 부피와 겉넓이를 구하는 공식에 대해 알아보는 시간을 가져보고자 합니다. 공식이 어려운 것은 아닌데 자꾸 잊어버리는 분들이 많을 것으로 생각됩니다. 저와 오늘 같이 정..
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Q 반지름이 2인 구가 있다 이 구의 부피와 겉넓이는 어떻게 되는가
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구의 부피의 적분 계산 – GeoGebra
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구의 부피
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- Summary of article content: Articles about 구의 부피 이 구에서 푸른색으로 색칠된 원의 반지름은 다음과 같다. 따라서 색칠된 원의 넓이는 다음과 같다. 이 식을 적분하면 구의 절반 부피를 구할 수 있다 … …
- Most searched keywords: Whether you are looking for 구의 부피 이 구에서 푸른색으로 색칠된 원의 반지름은 다음과 같다. 따라서 색칠된 원의 넓이는 다음과 같다. 이 식을 적분하면 구의 절반 부피를 구할 수 있다 … 이번 편은 구의 부피에 대해 알아보겠습니다. 그럼 시작하겠습니다. 다음과 같은 ‘구’가 있다고 하자. 이 구에서 푸른색으로 색칠된 원의 반지름은 다음과 같다. 따라서 색칠된 원의 넓이는 다음과 같다. 이 식..고등 물리에서 대학 물리의 징검다리 블로그 입니다.
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구의 부피를 구하는 방법에 대한 질문입니다 – Share Your Math
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- Summary of article content: Articles about 구의 부피를 구하는 방법에 대한 질문입니다 – Share Your Math 안녕하세요 저는 수3를 수강 중인 학생입니다. 적분을 공부하던 중에 구의 부피를 적분을 사용하여 구하고자 하는 호기심이 생겨서 질문하게 … …
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정적분을 이용한 원기둥, 원뿔, 구의 부피 – JW MATHidea
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구의 부피 구하는 방법
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구의 부피 구하는 방법 – 구의 부피 공식 유도
이 포스팅은
구의 부피의 공식 유도에 관한 글 입니다.
구의 부피는 4/3πR³으로 그 결과만 알려줄 뿐 학교에서도, 학원에서도 증명해주지 않는
부분이라 한번 쯤은 궁금하셨을 겁니다.
구의 부피 구하는 법은 고등학교에서 배우는 회전체의 부피 구하는 법 을 이용하거나
대학교때 배우는 이중적분 이라는 개념을 이용할 수 있습니다.
이 글에서는 이 두 가지 방법을 가지고 구할 것입니다.
특히 후자의 경우 구의 부피를 구하는 데 사용되는 이중적분의 개념을
다소 직관적이고 이해하기 쉬운 방법으로 설명하겠습니다.
글을 읽는분이 고등학생이라면 그냥 가볍게 읽어보고 넘어가셔도 되는 부분입니다.
이 글이 필요한 학생은
1. 미분과 적분의 개념을 알고 있는 학생.
2. 구의 부피를 구하는 과정을 알고 싶은 학생
3. 이중적분은 어떻게 사용되는 지 알고싶은 학생.
입니다.
제 글이 많은 학생들에게 도움이 됐으면 하는 바람입니다.
그럼 포스팅 시작합니다.
구의 부피
구(sphere)란 공간좌표계의 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합입니다.
(*평면좌표계의 한 정점으로부터 같은 거리에 있는 점들의 집합은 원(circle)입니다.)
구의 반지름을 r이라고 할 때, 부피 V(volume)는 4/3πr³ 으로 주어집니다.
공식 유도
구의 부피를 구하는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.
– 적분을 이용한 회전체의 부피를 이용하는 법(고등학교 과정)
– 이중적분을 이용해 구의 부피를 유도하는 법.(대학교 과정)
이번 포스팅에서는 이 두가지를 소개하겠습니다.
i) 회전체의 부피 구하는 법으로 구의 부피 구하기
범위 a≤x≤b로 주어진 함수 y=f(x)를 x축으로 회전시켰을 때 생기는 회전체의 부피는
다음과 같이 주어집니다.
이를 구에 적용시켜봅시다.
구는 반원의 회전체입니다.
반원을 어떻게 함수로 나타낼까요?
중심이 O(0,0), 반지름이 r인 원의 방정식은 다음과같이 주어집니다.
이 식을 y에 관해 정리하면,
이 되는데요. 양의 부호(+)는 y>0인 부분, 즉 1, 2사분면에 속한 반원이고
음의 부호(-)는 y<0인 부분, 즉 3, 4분면에 속한 반원입니다. 이 중 y축 윗부분의 반원을 구의 회전체로 사용합시다. 위 식을 회전체 부피 공식에 대입하면 아래와같이 수식이 전개됩니다. 이로써 구의 부피는 V=4/3πr³ 이 됨을 증명했습니다. ii) 이중적분으로 구의 부피 구하기 이 방법으로 구의 부피를 구하기 위해서는 미분과 적분의 개념을 알고있어야 합니다. 미분은 어떤 요소를 한없이 작게 쪼개는 과정이고, 적분은 쪼개어진 요소 요소를 모으는 과정입니다. - 구형좌표계를 도입해서 미소입자를 나타내기 이제 우리는 구를 한없이 잘게 쪼개어 작은 입자들을 만들것입니다.(미분) x, y, z축으로 이뤄진 공간좌표계(이를 데카르트 좌표계라 합니다.)에 중심이 원점, 반지름이 R인 구를 생각해봅시다. 편의상 그 구의 1/8과 구 위의 한 점을 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 좌표계에는 구형좌표계(spherical coordinate)라는 또다른 좌표계가 있습니다. 지금부터는 이를 도입하겠습니다. 위 그림에 나타난 구 위의 한 점에 대해서 점의 xy평면 위로의 정사영이 x축과 양의 방향으로 이루어 진 각의 크기를 θ, 화살표로 표현된 점의 위치벡터를 r축이라 하고, z축으로부터 r축까지의 각도를 Φ(Phi)라고 해봅시다. 구형좌표계의 각 요소를 그림으로 표현하면 아래와 같이 됩니다. 구 위의 점에서 θ, Φ방향으로 매우 작은 각도만큼 선을 그어 보겠습니다. 그 각도를 dθ, dΦ 라 합시다. (이처럼 수학에서 매우 작은 요소를 표현할때는 소문자 d를 이용합니다. d는 differentiation(미분)의 d로, f'(x)를 dy/dx로 표현할 때 쓰는 그 d 입니다.) 이를 그림으로 표현하면 아래와 같습니다. - 미소입자의 부피 구하기 이제 구를 매우 잘게 쪼갰습니다. 위 그림에 나타난 붉은색 도형이 바로 구를 한없이 잘개 쪼갰을 때 표면에 생기는 미소입자입니다. 이 도형을 확대해보면 다음과 같습니다. 이제 이 도형의 각 변의 길이를 구해야하는데요. 부채꼴의 호의 길이를 구하는 공식으로 다음 공식이 있습니다. 이를 위 그림에 적용하면, 입자의 각 변의 길이는 각각 RdΦ, RsinΦdθ 로 구해집니다. 따라서 입자의 넓이를 dS라고 두면, dS는 RdΦ와 RsinΦdθ의 곱입니다. (이 입자는 직사각형입니다. 이처럼 매우 잘게 쪼개진 도형의 곡률은 무시할 수 있어서 각 변을 직선으로 생각할 수 있습니다. 원의 넓이를 구할 때, 매우 잘게 쪼갠 부채꼴의 곡률을 무시한 사실을 상기하시기 바랍니다.) 이제 미소입자의 부피를 구해봅시다. 미소입자는 밑변의 넓이가 R²sinΦdθdΦ인 직사각형, 높이가 R인 사각뿔 입니다. 따라서 미소입자의 부피 dV는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. ii) 미소입자를 적분하기. 이제 위에서 구한 미소입자들을 한데 모아 더해봅시다. 각 위치별로 생기는 모든 입자들의 부피의 합이 바로 구의 부피가 될 것입니다. 앞에서 도입한 구형좌표계 그림을 가져와봅시다. 아래 그림은 전체 구의 1/8 부분만큼 해당하는 그림입니다. 그림에서 보이는 점이 미소입자를 구했던 위치입니다. 구 표면에 존재하는 모든 점들을 어떻게하면 표현할 수 있을까요? 구형좌표계의 θ와 Φ를 각각 0≤θ≤2π, 0≤Φ≤π 의 범위만큼 움직이하면 됩니다. (이로써 구형좌표계를 도입한 이유를 설명할 수 있습니다. 데카르트 좌표계의 x, y, z로는 구 표면 위에 존재하는 모든 점을 x, y, z의 범위로 나타내기가 여간 까다로운 게 아닙니다.) 이제 모든 위치(0≤θ≤2π, 0≤Φ≤π )에서 생기는 모든 미소입자들의 합을 구해봅시다. 작은 요소 요소들을 더한다는 것은 적분의 개념입니다. 구 전체의 부피를 V라 두면, 다음 수식을 세울 수 있습니다. 위에서 보이는 게 이중적분입니다. 이중적분은 별다른 게 아니라 차례차례 단일적분계산을 해주면 됩니다. 안쪽에 있는 적분을 먼저 해 줍시다. 이 결과를 이중적분속에 넣으면, 이로써 구의 전체 부피 V=4/3πR³ 이 됨이 증명할 수 있습니다. 정리 이번 포스팅에서는 구의 부피 공식 유도를 해보았습니다. 구의 부피는 두 가지 방법으로 구할 수 있습니다. i) 회전체의 부피를 이용하는 방법 ii) 이중적분을 통해 구하는 방법 특히 ii)의 경우 고교 수학 범위를 넘어가는 것으로, 기하학에서 미분과 적분의 개념이 활용되는 법을 토대로 기술했습니다. 그 과정에서 자연스레 생긴 '미소입자' 개념을, 다소 직관적인 방법으로 설명했습니다. 회전체를 이용해 구의 부피를 구하는 법은 자주 응용되므로 꼭 기억하시기 바랍니다. 구를 반원의 회전체로 생각한 것, 반원을 y=f(x)로 표현하는 아이디어 만큼은 수능을 준비하는 수험생의 입장에서 반드시 소화해야 할 내용입니다. 728x90
구의 부피 / 겉넓이 공식 정리 (+예시 풀이)
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안녕하세요. 훈릴스입니다.
오늘은 구의 부피와 겉넓이를 구하는 공식에 대해 알아보는 시간을 가져보고자 합니다. 공식이 어려운 것은 아닌데 자꾸 잊어버리는 분들이 많을 것으로 생각됩니다. 저와 오늘 같이 정리해보면서 확실하게 익혀봅시다! 레츠게릿!
구의 중심으로부터 구의 겉까지의 거리가 반지름입니다. 여기서는 반지름을 r이라고 표현을 했습니다. 위와 같이 구의 부피와 겉넓이의 공식은 다음과 같습니다. 많은 분들이 어떻게 저 공식이 나왔는지 궁금해하실 것으로 생각됩니다. 저 공식은 “적분”을 이용해서 구한 공식인데요. 아직까지 미분 / 적분을 이야기 하는 것은 너무 심오한 이야기가 되기에, 간단하게 구의 부피와 겉넓이는 저렇다라는 것만 인지하고 가시면 좋을 것 같습니다.
그렇다면 이번에는 반지름이 2인 구의 부피와 겉넓이는 어떻게 구할까요? 한 번 같이 문제를 풀어봅시다.
Q. 반지름이 2인 구가 있다. 이 구의 부피와 겉넓이는 어떻게 되는가?
우선 먼저 구의 부피를 구해봅시다. 앞서 알아본 바와 같이 구의 부피를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
그렇기에 이러한 공식을 바로 적용해서 풀이를 하고자 합니다. 여기서 Pi는 계산하지 무한소수이기에 계산하지 않아도 좋습니다. 중학교 수준에서는 보통 3.14라고 생각하고 계산을 하는 경우가 많은데, 정확하게는 무한소수이기에 특정한 수로 표현하는 것은 틀렸습니다.
위의 그림과 같이 구의 부피를 구할 수 있습니다. 그렇다면 구의 겉넓이는 어떻게 구할까요? 바로 앞서 알아본 구의 겉넓이 공식을 사용하면 됩니다.
위의 공식을 사용할 때도, pi는 계산하지 않는 것이 옳습니다. 왜냐하면 3.14로 계산하는 것은 정확한 수치와는 상반되기 때문이죠. 하지만, 중학교 수준에서는 계산하라고 하는데 문제에서 pi=3.14라는 조건이 주어지면 계산하셔야해요! 이번 풀이에서는 계산하지 않고 pi로 그대로 나두겠습니다.
위의 그림과 같이 구의 겉넓이를 구할 수 있습니다. 사실 공식만 알면 곱하기만 해주면 되는 것이기 때문에 어려운 문제는 아닙니다. 하지만, 가끔식 마주하는 문제이기 때문에 공식을 잊어버리는 분들이 많을 것으로 생각돼요. 연습장에 10번씩 쓰면서 뇌 깊숙히 기억하도록 합시다!! 이상입니다.
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