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[확률과 통계 12탄] 토너먼트 경우의 수 :: winner
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리그와 토너먼트 – 경우의 수 : 네이버 블로그
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대진표 경우의 수 (1)
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【수학】 토너먼트, 리그 방식 경기 수 계산하는 방법
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[확률과 통계 12탄] 토너먼트 경우의 수
01. 토너먼트 경우의 수를 시작하면
토너먼트 경우의 수는 문제를 풀 때 조금 힘들어 하는 학생들이 있습니다. 일단 대부분의 문제집에 종합문제나 연습문제에서 1,2문제 정도 언급이 되어 여러 문제집을 풀지 않으면 익숙해지기 힘들고 내용도 조금씩 다른 유형이 있어 적응하기가 힘든 경우가 있습니다.
그래서 이번 시간에는 토너먼트와 관련된 기본적인 풀이방법에 대해서 알아보고 변형된 형태로 출제되는 경우의 문제들에 대해서도 파악을 해보도록 하겠습니다.
열심히 공부를 하는 분들에게 미약하게나마 도움이 되었으면 합니다.
02. 토너먼트 경우의 수 Map
03. 토너먼트 기본 유형
어느 것을 이용해도 되는데 자신에게 편리한 방법을 이용해서 구하면 됩니다.
예를 들면
대부분의 문제에서는 위의 형태는 가장 기초적인 형태라 나오지 않고
좀 더 복잡한 형태로 나오게 됩니다. 그러나 기본적인 구조는 똑같은
형태를 지니고 있습니다.
예제01
한국, 일본, 중국, 사우디가 아시안컵 준결승에 진출했을 때, 네 팀이
토너먼트를 하는 방법의 수를 구하여라.
sol)
예제02
한국, 일본, 중국, 미국, 쿠바, 영국의 야구 경기 대진표가 아래와 같이 나올 때
경기의 방법의 수를 구하여라.
sol)
예제03 07년 03월 기출
좌우 대칭인 모양과 모양의 철사가 각각 두 개씩 있다. 그림과 같이
각 철사의 가운데를 서로 연결한 후, 여섯 군데의 고리에 서로 다른 개의 인형 를 매달아 회전모빌을 만들려고 한다. 이때 만들 수 있는
서로 다른 회전모빌의 개수를 구하시오.
(단, 그림의 ●부분은 회전 가능하고, 모양의 두 철사는 합동이다.)
sol 01)
sol 02)
04. 토너먼트 같은 팀이 다른 곳에 배치
이번 내용은 문제는 예를 통하여 설명을 하도록 하겠습니다.
예제4
한국과 중국의 각각 2명씩이 탁구 경기에서 준결승에 올라왔습니다.
각 국가의 선수들이 결승전에서만 붙는 경우의 수를 구하여라.
sol)
예제5 내신,교육청 유형
한국, 중국, 일본, 미국의 각각 2명씩이 탁구 경기에서 준준결승에 올라왔습니다.
각 국가의 선수들이 결승전에서만 붙는 경우의 수를 구하여라.
sol)
05. 토너먼트와 확률
토너먼트에서 각 위치의 확률을 모형에 따라 구해보면 원하는 위치에 있을 확률은
모두 동등하게 기대가 되어야 하기 때문에 순열처럼 계산해도 됩니다.
그래서 토너먼트의 경우의 수 보다 쉽게 구할 수 있습니다.
토너먼트에서 각 위치의 확률은 직접 구해보면 모두 같게 된다.
3명이 토너먼트를 하면 각 위치의 확률은 1/3
4명이 토너먼트를 하면 각 위치의 확률은 1/4
6명이 토너먼트를 하면 각 위치의 확률은 1/6
모두 동등하게 나온다.
확률과 관련 되어서 좀 더 자세한 내용을 알고 싶은 분은 …▶ 확률의 이해 클릭
sol)
여기까지가 토너먼트 경우의 수에 대한 Winner의 설명입니다.
리그와 토너먼트 – 경우의 수
경우의 수는 실제 세계에서 일어날 수 있는 모든 경우를 나열하고 각각의 경우를 검토해 볼 수 있는 매우 유용한 생각의 방법입니다.
여러가지 경우의 수 중에서 요즈음의 날씨에 맞는 운동경기와 연관된 리그전과 토너먼트 방식을 알아봅시다.
리그(league) 는 연맹이라는 뜻을 가지고 있습니다.
이 연맹에 속한 모든 팀들이 돌아가면서 똑 같은 횟수를 겨루게 되며
가장 많은 승리를 얻은팀이나 점수가 가장 높은 팀이 우승을 하는 방식입니다.
야구, 축구, 농구, 배구 등 대부분의 프로 팀 경기에서 정규 리그를 이 방법으로 운영하고 있습니다.
리그전의 경기 횟수
한,중,일 세팀이 리그전으로 한번씩 시합을 하는 친선경기를 할때,
우리나라와 일본의 경기를 우리는 “한일전” 이라고 부르고, 일본에서는 ” 일한전” 이라고 부르게 될 것 입니다.
부르는 이름은 다르지만 같은 경기입니다.
그래서 “한일” – “일한” , “한중-중한”, “중일-일중” 모두 세번의 경기를 치루게 됩니다.
이때 우리나라는 일본, 중국과 각각 한번식 모두 두번의 경기를 치루게 되겠지요!
중국과 일본도 마찬가지로 각각 두번의 경기를 치루게 됩니다.
이러한 사실로 실제 경기의 수는 부르는 경기의 이름 수의 절반이라는 것을 알 수 있습니다.
이것을 일반화 시켜 n개의 팀이 출전하는 리그전이라면
각팀은 자기 자신과의 경기는 할 수 없으므로 (n-1)회의 경기를 각각 치루게 되고, 이러한 팀들이 n개 임으로
부르는 이름은 n X (n-1) 개가 됩니다. 전체 경기수는 이것을 반으로 나누면 되겠지요^^
실제 벌어지는 리그전의 경기 수 = n X (n-1) ÷ 2
리그전의 경우의 수는 또 어디에서 나타날까?
이러한 리그전의 경우의 수와 같은 경우는 자기 자신과의 관계를 제외하는 모든 경우에 그대로 또는 변형으로 적용할 수 있습니다.
OECD 정상 회담에 참석한 각국의 대통령과 통리들은 모든 참석자와 악수를 하게 됩니다. 자기만 빼고서 …. ^^ 리그전과 똑 같군요^^
다각형에서 생기는 모든 변과 대각선 수의 합도 마찬가지 입니다.
변과 대각선은 오로지 두개의 서로 다른 꼭지점 사이만 연결하는 직선입니다. 역시 리그전과 같습니다.
대각선수는 여기에서 변의 수만 빼주면 되겠지요? (변의 수는 다각형의 이름속에 있다는 건 다 아시지요^^)
토너먼트(tournament) 는 원래 중세 프랑스기사들 사이에 유행하던 ‘투르누아’ 라는 말에서 유래되었다고 합니다.
‘투르누아’는 말을 타고 하는 창 시합인데, 갑옷을 입고 말을 탄채 반대평에서 돌진해 와서
창으로 상대방을 말에서 떨어뜨리면 이기는 경기입니다. 한번 지면 짐 싸서 집으로 가야했지요.
이 말이 점차로 한번지면 탈락하는 경기 방식을 의미하는 단어가 되었다고 합니다.
토너먼트의 경기 횟수
예를 들어 8팀이 출전한 경기를 토너먼트 방식으로 치루게 되면,
1회전에서는 두팀씩 대결하게 됨으로 4개의 경기가 펼쳐지고 승자도 4개팀이 됩니다.
2회전에서는 1회전의 승자들만이 경기를 가지게 됨으로 다시 2개 경기가 펼쳐지고 두명의 승자도 가려집니다.
3회전에서는 2회전의 승자 두팀이 최후의 우승자 자리를 놓고 1개의 게임이 펼처지게 되겠지요?
그래서 8팀이 출전한 토너먼트에서는 모두 7개의 경기가 펼처집니다.
6개의 팀이 출전한 경기에서는
1회전에 3게임이 펼쳐저 3명의 승자가 생깁니다.
2회전에서는 이중 2개의 팀이 경기를 펼치고 1팀은 그냥 구경만 하고 3회전에 바로 출전하게 되는 행운이 있습니다.
이처럼 싸우지 않고 이긴 것으로 간주되는 것을 “부전승”이라고 합니다. 하여간 2회전에서는 1개의 시합만이 있습니다.
최종 3회전은 역시 2회전의 승자와 부전승으로 올라온 팀간의 결승 경기인 1개의 경기기 펼쳐집니다.
그래서 6팀이 출전한 토너먼트에서는 모두 5번의 경기가 펼쳐집니다.
이미 눈치를 채셨겠지만 모든 경우에 출전팀수보다 하나 작은 수의 경기가 토너먼트에서는 펼쳐지게 됩니다.
10팀이 출전하면 5 + 2 + 1 + 1 = 9(회), 36팀이 출전하면 18 + 9 + 4 + 2 + 1 + 1 = 35(회)의 게임이 펼쳐지게 됩니다.
그런데 이긴 경기만을 가지고 계산을 하면 좀 복잡하지요?
생각을 뒤집으면 더욱 쉽게 이해할 수 있습니다.
모든 경기에서 진팀은 하나씩 나오게 됩니다. 진팀은 다시는 경기를 할 수 없기 때문에 딱 한번 지게 됩니다.^^
우승자는 한번의 폐배도 없었지요.
…. 그렇다면 우승자를 제외한 모든팀이 한번의 폐배를 한것이고 이것이 경기수입니다.^^
실제 벌어지는 토너먼트의 경기 수 = (n-1)
이제 여러가지 운동경기에서 전체 시합의 수를 계산하는 것을 잘 할 수 있겠지요?
우리나라가 4강에 오르기도 한 월드컵 본선은 리그전과 토너먼트 방식을 혼합한 방식입니다.
4개팀을 한조로 하며 리그전을 치루고 그중에서 1,2 위 팀들이 다시 토너먼트 경기를 치루게 되는데,
주의할 점은 원래 토너먼트 방식에는 없는 3,4위전 경기를 한번 더 치룬다는 것입니다.
월드컵 본선에 모두 32개의 팀이 참가한다고 할때, 모두 몇 경기를 하는지 계산해 보세요^^
대진표 경우의 수 (1)
[대진표 경우의 수]대진표 경우의 수를 구하는 법을 알아보자. (토너먼트)
먼저 간단하게 4팀의 대진표 경우의 수를 구해보자.
구별하기 쉽게 팀은 1, 2, 3, 4 팀으로 하고 우리가 짜야할 대진표는 아래와 같다.
결론부터 말하면 대진표짜기는 “모든 경우의 수에서 바꿔도 똑같은 부분마다 2로 나눠가는 것” 이다.
1. 모든 경우의 수를 구한다. 단순 나열 4! = 24
2. 바꿔도 똑같은 부분을 찾을때마다 2로 나누어 준다.
1번 모든경우의 수는 아래와 같다.
그러면 2번 바꿔도 똑같은 부분이란 건 무엇을 말하는 걸까
아래에 두 대진표를 비교해보자
team1과 team2의 자리를 바꿔준 대진표이다.
두 팀의 자리를 바꿔주어도 대진표는 변함이 없다.
어차피 첫경기에 team1과 team2가 맞붙는 같은 대진표가 되는 것이다.
즉 우리가 구한 총 경우의 수에서 이런 같은 대진표들을 삭제해주는 작업을 해주어야 한다.
위 그림처럼 총 경우에서 team1번 자리와 team2번 자리가 같은 경우의 수를 비교하였다.
왼쪽과 오른쪽은 대진표 상에서는 같은 경우의 수가 되므로 한쪽은 삭제가 가능하다.
즉 나누기2 를 해주는 것이다.
그러면 우리 대진표에서 바꿔도 되는 부분은 총 몇개 일까?
위와 같이 바꿔도 똑같은 부분이 총 3곳이다.
그렇다면 우리 대진표에서 나올 수 있는 경우의 수는
총 3개이다.
다음 포스팅에서는 좀더 복잡한 대진표를 다뤄보도록 하겠다.
(부전승이 있으면 바꿔도 되는 부분이 아니다.)
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