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[수1] 17. 음수의 제곱근 : 네이버 블로그
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![[수1] 17. 음수의 제곱근 : 네이버 블로그](https://blogimgs.pstatic.net/nblog/mylog/post/og_default_image_160610.png)
i의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질 – 수학방
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i의 거듭제곱 음수의 제곱근의 성질
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루트안에 음수가능함? – 오르비
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루트 마이너스 1
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제곱근의 뜻과 표현 – 수학방
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제곱근의 뜻과 표현
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음수의 제곱근 :: winner
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- Most searched keywords: Whether you are looking for 음수의 제곱근 :: winner 01. 음수의 제곱근을 시작하며… 이번 음수의 제곱근에서는 음수의 제곱근이 포함된 곱셈과 나눗셈에 대한 계산에서 나타나는 특징을 알아보고 이와 … 01. 음수의 제곱근을 시작하며… 이번 음수의 제곱근에서는 음수의 제곱근이 포함된 곱셈과 나눗셈에 대한 계산에서 나타나는 특징을 알아보고 이와 관련된 문제들에 대해서 풀어보도록 하겠습니다. 예제 위주로..
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음수의 제곱근
티스토리툴바
모바일 성지닷컴
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[수1] 17. 음수의 제곱근
안녕하세요!
오랜만에 돌아온 슛도리입니다!
다들 아셨듯이..
오늘 블로그 Today 신기록이 또 세워졌네요
ㅋㅋ
항상 감사드리고요,
오늘 포스팅 시작하겠습니닷!
음수의 제곱근!!
1. 음수의 제곱근
저번부터 계~속 같은 말 반복하고 있는 것 같은 느낌이 드실 수 있어요.
그. 러. 나.!
엄연히 달라요.
지난 시간까지 배웠던 것은 ‘i’라는 허수단위가 붙여서 있는 상태의 수를 배운 것이고요,
이번 시간에는 말 그대로 음수 자체에 루트가 씌워져 있는,
음수의 제곱근에 대해 알아보는 거니까요ㅎㅎ
일단 한번 음수의 제곱근에 대해 알아봅시다.
이게 무슨 말인지는
중 3 이상의 형, 누나분들께서는 다 아실꺼예요.
중 3때 ‘a의 제곱근’과 ‘제곱근 a’가 다르다는 것을 배우거든요.
a의 제곱근은 ‘±√a’이고, 제곱근 a는 ‘√a’이거든요.
위 내용은 중 3때 배운 것과는 달리 a자리에 음수가 들어간 것 뿐입니다.
2. 음수의 제곱근의 성질
지난 번에 켤레복소수를 배우고 켤레복소수의 성질에 대해 배웠듯이,
음수의 제곱근을 알았으니 이제 그 성질을 알아봐야겠죠?
여기서 중요한 것은
(1)의 역이 (2)인데,
두 내용이 같지 않죠?
(2)번의 내용에서 a=0, b=0 그리고 a=0 있는 거 보이시나요?
그러니까 문제에서 (2)번 상황에서 가능한 a, b의 값의 조건을 쓰라고 나오면
(1)번 조건이 위와 같다고 그걸 그대로 써서 낚이면 안된다는 것입니다(실제로 제가 그딴식으로 낚였음ㅠㅠ)
음.. 그리고 위와 같은 성질이 어떻게 나왔는지 궁금하시죠?
제가 증명까지 해드리겠습니다.
물론 그냥 외우실 분들은 밑에 글 안 읽으셔도 돼요
끝!
이해가 되셨나요?
그렇다면, 예제를 풀어보도록 해요!
3. 예제풀이
당황하실 필요 없어요!
저거 루트만 다다다다- 씌워져 있는 것이니까요.
위에서 배웠던 음수의 제곱근의 성질을 이용해서
이 문제를 풀어봅시다.
곱하기/나누기로 묶여있는 것들은 모두 계산했으니까
이제 이것들을 위에 나와 있는대로 서로 더하고 빼주면 되겠죠?
끝입니다
답이 저거에요.
네..!!
이렇게 해서
음수의 제곱근과 그의 성질,
또 그와 관련된 예제까지 한 문제 풀어보았습니다.
그리고 무엇보다 감사드립니다!
현 시각 기준으로 제 블로그 Today가 168이더군요!
앞으로 3시간 정도 남아 오늘 12시까지 얼마나 이 수가 증가할 지 기대가 됩니다
(계속 Today 타령한다고 뭐라 하실 분 있으실텐데 초보는 그저 좋습니다 ㅎㅎㅎ)
12시 쯤에 또 글 올리겠습니다(못 올릴 수도.. 못 올리면 내일 올릴게요)
감사합니다!
p.s. 수.포.자.들.의.첫.번.째.무.덤.인.방.정.식.이.시.작.된.다.
다음 Part: Part 18. 방정식
to be continued…..
i의 거듭제곱, 음수의 제곱근의 성질
i2 = -1이었죠? 그럼 i3, i4는 얼마일까요? i의 거듭제곱은 일정한 패턴이 있어요. 이 패턴을 이용하면 i100, i1000처럼 지수가 아무리 크더라도 그 값을 구할 수 있어요. 어떤 패턴이 있는지 알아보죠.
중학교에서 제곱근의 곱셈과 나눗셈을 할 때, 근호는 그대로 두고, 근호 안의 숫자끼리만 곱하거나 나누면 된다고 공부했어요. 그런데 근호 안의 숫자가 양수라는 조건이 있었죠.
허수는 근호 안의 숫자가 음수예요. 과연 근호 안의 숫자가 음수일 때도 같은 성질이 성립하는지 아니면 성립하지 않는지 알아볼 거예요.
i의 거듭제곱
i를 거듭제곱하면 특별한 성질을 발견할 수 있어요. 거듭제곱을 해보죠.
i = i
i2 = -1
i3 = i × i2 = i × (-1) = -i
i4 = i2 × i2 = (-1) × (-1) = 1
i5 = i × i4 = i × 1 = i
i6 = i2 × i4 = (-1) × 1 = -1
i7 = i3 × i4 = -i × 1 = -i
i8 = i4 × i4 = 1 × 1 = 1
결과만 보면, i, -1, -i, 1이 계속 반복되고 있어요.
지수가 1, 5, 9, 13, …이면 i
지수가 2, 6, 10, 14, …이면 -1
지수가 3, 7, 11, 15, …이면 -i
지수가 4, 8, 12, 16, …이면 1
지수를 수식으로 표현하면 i의 거듭제곱은 순환하는 걸 알 수 있어요.
i2013 + i2014 + … + i2098 + i2099를 간단히 하여라.
i의 거듭제곱은 i, -1, -i, 1이 계속 반복돼요. 또 i4n-3 + i4n-2 + i4n-1 + i4n = i + (-1) + (-i) + 1 = 0이에요. i의 거듭제곱 중 연속하는 네 개의 합은 0이 되는 거죠.
i2013 + i2014 + … + i2098 + i2099
= i2097 + i2098 + i2099 (∵ 앞에서부터 4개씩의 합 = 0)
= i2096(i + i2 + i3) (∵ i2096로 묶기)
= i + i2 + i3 (∵ i4n = 1)
= i – 1 – i
= -1
음수의 제곱근의 성질
제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 제곱근의 곱셈은 숫자끼리 곱하고 제곱근을 씌워주면 된다고 했어요.
그런데 허수의 제곱근에서도 이렇게 될까요?
이 식은 틀렸어요. 근호 속의 (-1)을 i로 바꿔서 계산해보죠.
근호안의 숫자는 6으로 같은데, 부호가 다르죠? 왜냐하면, 근호 안에 있는 (-1)때문이에요. ( )2 = i2 = -1이잖아요.
여기서는 그냥 근호 안의 숫자를 곱해주기만 했어요.
위 세 가지 예의 차이를 보죠.
첫 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 양수예요.
두 번째 은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수고요.
세 번째 은 근호 안의 숫자가 하나는 양수, 하나는 음수예요.
즉, 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때에만 근호 앞에 (-)가 붙어요.
그럼 곱셈이 아니라 나눗셈을 해보죠. 제곱근의 나눗셈에서는 근호 안의 숫자만 그냥 바로 나눗셈하고 근호를 씌워주면 됐었죠?
근호 안이 둘 다 음수일 때를 해보죠.
둘 다 근호 안이 음수일 때는 그냥 근호 안의 숫자끼리만 나눠준 것과 같아요.
이번에는 분모의 근호 안은 양수이고, 분자의 근호 안은 음수일 때에요.
분모의 근호 안은 양수, 분자의 근호 안은 음수이면 그냥 근호 안의 숫자끼리 나눠준 것과 같네요.
이번에는 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때에요.
근호 안의 숫자끼리 계산했는데, 근호 앞에 (-)가 붙었어요.
네 가지 경우를 봤는데, 정리해보면 분모의 근호 안은 음수이고, 분자의 근호 안은 양수일 때는 근호 앞에 (-)가 붙고, 그 외에는 (-)가 붙지 않아요. 그리고 숫자는 그냥 그대로 나누죠.
음수의 제곱근의 성질
두 가지 경우를 제외하고는 제곱근의 곱셈과 나눗셈에서 했던 대로 근호 안의 숫자의 부호는 상관없이 그냥 숫자끼리 곱하거나 나누면 돼요.
다음을 간단히 하여라.
음수의 제곱근의 성질에서 곱셈은 근호 안의 숫자가 둘 다 음수일 때만 앞에 (-)를 붙이고 숫자끼리 곱해주는 거였고, 나눗셈은 분모의 근호 안의 숫자만 음수일 때 (-)를 붙이고 숫자끼리 나눠주는 거였어요.
(1)
(2) 앞에서부터 차례대로 계산해보죠.
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[중등수학/중3 수학] – 제곱근의 곱셈과 나눗셈정리해볼까요 i의 거듭제곱 i, -1, -i, 1이 계속 반복
i4 = 1을 이용하여 식을 간단히 음수의 제곱근의 성질
그리드형(광고전용)
제곱근의 뜻과 표현
3학년 첫단원이네요. 첫시간부터 정말 중요한 걸 배울거에요. 제곱근이라는 용어와 이를 나타내는 새로운 기호죠. 이 기호는 1학기 내내 사용할 거에요.
제곱근이라는 용어는 언뜻 이해한 것 같기도 한데, 막상 문제를 풀려고 하면 이해가 안되는 참 이상한 내용이에요. 숫자가 앞에 있는 지 제곱근이라는 단어가 앞에 있는 지에 따라서 뜻이 달라지는데, 이게 참 헷갈리거든요.
언제나 그렇듯 첫시간에 공부하는 개념 정리가 잘 되어있어야 다음 내용으로 넘어갈 수 있으니까 정독해서 잘 이해하셔야 해요.
제곱근의 뜻
12 = 1, 22 = 4, 32 = 9, 42 = 16, 52 = 25…..에요.
(-1)2 = 1, (-2)2 = 4, (-3)2 = 9, (-4)2 = 16, (-5)2 = 25고요.
이걸 거듭제곱이라고 하죠? 이번에는 거꾸로 생각해볼까요? 어떤 수 a를 제곱했더니 9가 됐어요. 그럼 a는 얼마일까요? 위에서 보면 a = 3 또는 a = -3이에요. 제곱해서 16이 되는 수는 4, -4고요.
이처럼 제곱해서 a가 되는 수를 a의 제곱근이라고 해요. 제곱해서 9가 되는 수는 9의 제곱근, 제곱해서 16이 되는 수는 16의 제곱근이요.
위의 경우에서 보면 하나의 수에 대해서 절댓값은 같고 부호가 다른 제곱근이 2개씩 있어요. 양수인 제곱근을 양의 제곱근, 음수인 제곱근을 음의 제곱근이라고 해요. 3은 9의 양의 제곱근, -3은 9의 음의 제곱근이 되는 거지요. 4는 16의 양의 제곱근이고, -4는 16의 음의 제곱근이에요.
0은 제곱근이 몇 개일까요? 제곱해서 0이 되는 수는 0밖에 없어요. 그런데 0은 부호가 없지요. 따라서 0의 제곱근은 그냥 0이에요. 이 때는 다른 경우와 달리 제곱근이 하나밖에 없어요.
이번에는 제곱해서 -9가 되는 수를 찾아볼까요? 제곱해서 -9가 되는 수가 뭐가 있나요? -3이면 될까요? -3을 제곱하면 9가 되는데요. 어떤 수를 제곱하면 0이거나 양수가 되지 음수가 될 수는 없어요. 따라서 음수의 제곱근은 생각하지 마세요.
제곱근: 제곱의 반대
a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수, a ≥ 0
a > 0 이면 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개. 양의 제곱근과 음의 제곱근은 절댓값 같고 부호 반대.
a = 0 이면 제곱근은 0 하나
a < 0 이면 생각하지 않음. 다음 수의 제곱근을 구하여라. (1) 25 (2) (-3)2 (3) 0.01 (4) 제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있는데, 이 둘은 절댓값이 같고 부호만 반대에요. (1) 25의 제곱근은 5, -5 (2) 거듭제곱이 있는데, 이럴 때는 계산을 모두 한 결과에서 제곱근을 구해요. (-3)2 = 9 이므로 9의 제곱근은 3, -3 (3) 0.01의 제곱근은 0.1, -0.1 (4) 분수도 다르지 않아요. 의 제곱근은 제곱근의 표현 수학은 말을 기호로 나타내야 해요. 따라서 제곱근도 기호로 나타내죠. 제곱근을 나타낼 때는 근호( )를 사용하고 제곱근 또는 루트라고 읽어요. 근호 안에 들어가는 a는 제곱이 된 수니까 무조건 0보다 크거나 같아야 해요. 제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근이 있잖아요. 그래서 양의 제곱근 앞에는 +를, 음의 제곱근 앞에는 -를 붙이는데, 양수에서 +는 생략하죠? 그래서 양의 제곱근 앞의 +로 생략해요. 결국 음의 제곱근에만 -만 붙여요. a의 양의 제곱근 = a의 음의 제곱근 = a의 양의 제곱근과 음의 제곱근을 한번에 라고 쓰기도 하는데, "플러스 마이너스 루트 a"라고 읽어요. 어떤 수의 제곱근을 나타낼 때는 루트를 씌워주는데, 부호도 꼭 함께 써줘야 해요. 9의 제곱근을 나타내라고 하면 로만 쓰기 쉬운데, 그러면 안돼요. 9 제곱근은 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개가 있으니까 처럼 부호와 함께 써줘야 합니다. 부호없이 그냥 쓴 는 제곱근 a(루트 a)에요. a의 양의 제곱근도 같은 모양이죠? 문제에 제곱근 a와 a의 양의 제곱근이라는 표현이 나오는데, 결국 같은 거니까 헷갈리지 마세요. = 제곱근 a = a의 양의 제곱근 이 둘보다 더 헷갈리는 게 바로 제곱근 a와 a의 제곱근이라는 표현인데 잘 구별하세요. 제곱근 a: a에 루트 기호를 씌운 것 = = a의 양의 제곱근 a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수 = = a의 양의 제곱근과 음의 제곱근 다음을 구하여라. (1) 5의 제곱근 (2) 제곱근 5 a의 제곱근과 제곱근 a의 차이를 제대로 이해하고 있어야 풀 수 있는 문제에요. (1) 5의 제곱근은 제곱해서 5가 되는 수로 양수와 음수 2개가 있어요. (2) 제곱근 5는 5에 제곱근 기호를 씌운 것으로 5의 양의 제곱근과 같지요. 함께 보면 좋은 글 [중등수학/중1 수학] - 거듭제곱의 뜻, 거듭제곱으로 나타내기, 제곱, 세제곱 정리해볼까요 제곱근의 뜻 a의 제곱근: 제곱해서 a가 되는 수, a ≥ 0 a > 0 이면 양의 제곱근, 음의 제곱근 2개. 양의 제곱근과 음의 제곱근은 절댓값 같고 부호 반대.
a = 0 이면 제곱근은 0 하나
a < 0 이면 생각하지 않음. 제곱근의 표현 근호( )를 사용 )를 사용 a의 양의 제곱근 = a의 음의 제곱근 = 합쳐서 그리드형(광고전용)
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