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교컴 – 피타고라스 정리의 증명 방법 45가지
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Proof #2. 피타고라스의 증명(1)
Proof #3. 피타고라스의 증명(2)
Proof #4. 바스카라의 증명
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피타고라스의 정리 증명 – JW MATHidea
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피타고라스 의 정리 증명 45 가지
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ÇÇŸ°í¶ó½º Á¤¸®
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피타고라스의 정리 다양한 증명 방법 45가지 입니다. – 방송통신대학교 수학의 이해 게시판 – mathematics only
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피타고라스 정리의 증명 방법 45가지
Proof #1. 유클리드의 증명 – 유클리드원론 1권 47번째 명제 ‘목수의 정리’로 알려진 피타고라스 정리의 고전
Proof #4. 바스카라의 증명 – 인도의 수학자이자 천문학자인 바스카라의 증명 “보라!”
Proof #5. 페리갈의 증명(1) – 영국인 주식 중매인이자 아마추어 수학가인 헨리 페리갈의 증명
Proof #6. 페리갈의 증명(2) – 헨리 페리갈의 두번째 증명, 코라의 증명
Proof #9. 아나리지의 증명 – BC 900년경 아나리지 (Annairizi)가 증명한 방법.
Proof #14. 호킨스의 증명 – 1909년 호킨스(Hawkins)가 증명한 방법
Proof #15. 가필드의 증명 – 1876년 미국의 20대 대통령 가필드의 증명으로 사다리꼴의 넓이를 이용함
Proof #16. 월리스의 증명 – 17세기 영국의 수학자 월리스의 삼각형의 닮음을 이용한 증명
Proof #17. 원을 이용한 증명(1) – 할선과 접선의 길이 사이의 관계를 이용한 증명
Proof #18. 구고현의 정리 – 신라 시대 때 천문학 교재 “주비산경”에 나와 있는 중국의 피타고라스 정리
Proof #21. 삼각형의 닮음을 이용한 증명(1) – 삼각형의 닮음을 이요한 증명으로 일반적인 증명
Proof #22. 피타고라스 정리의 파푸스의 확장 – 고대 그리스 수학자 알렉산드리아의 파푸스의 증명
Proof #23. 사비트 이븐 쿠라의 증명(1) – 피타고라스 정리의 또 다른 확장
Proof #24. 월리스의 증명의 변형 – Proof #16 증명의 변형
Proof #25. 폴야의 일반화 – G. Polya의 유추를 통한 피타고라스 정리의 일반화
Proof #26. 폴야의 제안의 이용(1) – 폴야(G. Polya)가 제안한 아이디어를 이용한 증명
Proof #27. 폴야의 제안의 이용(2) – 폴야(G. Polya)가 제안한 아이디어를 이용한 증명
Proof #28. 톨레미의 정리를 이용한 증명 – 프톨레마이오스의 정리를 이용한 증명
Proof #29. 원을 이용한 증명(3) – 할선과 접선의 길이 사이의 관계를 이용한 증명
Proof #34. Liu Hui의 도형 분할을 이용한 증명(1) – 3세기경 중국의 유휘가 도형 분할을 이용하여 증명한 방법
Proof #35. 박부성의 도형 분할을 이용한 증명 – 박부성의 말이 필요없는 멋있는 증명
Proof #36. Ann Condit 의 증명 – 미국의 고등학생 앤 콘디트 의 증명
Proof #37. Michelle Watkins 의 증명 – North Florida 대학의 한 학생인 미쉘 왓킨스 의 증명
Proof #38. Douglas Rogers 의 증명 – Proof #37의 다른 접근으로, 더글라스 로저스의 증명
Proof #39. Shai Simonson 의 증명(1) – 캠브리지 스톤힐 대학의 샤이 시몬슨 교수의 증명 첫번째
Proof #40. Shai Simonson 의 증명(2) – 캠브리지 스톤힐 대학의 샤이 시몬슨 교수의 증명 두번째
Proof #41. Böcher 의 증명 – J. E. Böttcher 의 도형 분할을 이용한 WWP
Proof #42. Oliver 의 증명 – 직각삼각형에 내접하는 원을 이용한 증명
Proof #43. Sutton 의 증명 – J. Barry Sutton의 삼각형의 닮음을 이용한 증명
Proof #44. Liu Hui의 도형 분할을 이용한 증명(2) – 3세기경 중국의 유휘가 도형 분할을 이용하여 증명한 방법
피타고라스의 정리 증명
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■ 피타고라스의 정리
직각삼각형의 빗변의 제곱은 다른 두 변의 제곱의 합과 같다.
즉, 직각삼각형 ABC에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a. b라 하고 , 빗변의 길이를 c라고 할 때 이 성립한다.
이 피타고라스 정리의 피타고라스 이후 많은 학자들이 연구하여 가능한 모든 방법을 찾아진 것으로 생가되며 그 방법의 수가 200개 이상이 있다고 한다. 많은 증명 중에서 몇 가지 증명법을 제시해 보고자 한다.
피타고라스 증명법 (01)
그림과 같이 직각삼각형 ABC에서 두 변 CA, CB를 연장하여 한 변의 길이가 a+b인 정사각형 CDFH를 그리면, 사각형 AEGB는 네 변의 길이가 모두 같다.
삼각형의 내각의 합은 이므로
∠BAC +∠EAD= 이므로
□AEGB는 정사각형이다.
정사각형 CDFH는 서로 합동인 네 개의 직각삼각형(△ABC≡△BGH≡△GEF≡△EAD)과 한 개의 정사각형 AEGB로 나누어지므로
□CDFH=4×△ABC+□AEGB
□CDFH= , △ABC= , □AEGB= 이므로
따라서
피타고라스 증명법 (02)- 정사각형을 분할하는 방법으로 증명
[그림1] [그림2] [그림1]과 [그림2]의 큰 정사각형의 넓이가 서로 같으므로 [그림1]의 넓이 = [그림2]의 넓이 =따라서
피타고라스 증명법 (03)- 유클리드의 증명
그림에서 □ADEB, □ACHI, □CBFG는 모두 정사각형
△IAC와 △IAB의 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로
△IAC=△IAB
△IAB와 △CAD에서
선분 IA = 선분 CA , 선분 AB= 선분 AD, ∠IAB=∠CAD 이므로
△IAB ≡ △CAD (SAS합동)
△IAB = △CAD
또한 △CAD와 △MAD의 밑변의 길이와 높이가 각각 같으므로
△CAD=△MAD
즉, △IAC=△MAD이므로
□ACHI = □ADNM
같은 방법으로 □CBFG=□MNEB
따라서 □ADEB=□ACHI+□CBFG이므로
피타고라스 증명법 (04)- 바스카라의 증명
그림에서 한변의 길이가 c인 정사각형에서
△ABC , △BDF , △DEG , △EAH는 모두 합동이다.
□ADDE=□FGHC+4×△ABC이므로
피타고라스 증명법 (05)- 윌리스의 증명
삼각형의 닮음을 이용한 증명법
직각삼각형 ABC에서
△ABC 와 △ACD 은 닮았으므로
즉 c : b = b : x
또 △ABC와 △CBD는 닮았으므로
즉, c : a = a : y
따라서
피타고라스 증명법 (06)- 가필드의 증명
사다리꼴 BCDE의 넓이 =
□BCDE=△BCA + △ADE + △BAE
따라서
피타고라스 증명법 (07)
그림에서 점 H는 반원 AHB 위에 있는 임의의 점이다.
선분 AB를 지름으로 하는 원주각은 직각이므로 삼각형 AHB는 직각삼각형이다.
정사각형 ABFD를 그리고, 선분 AB에 수직인 선분 EC를 긋는다.
△ABH와 △HBC가 닮은 삼각형이므로
△ABH와 △AHC가 닮은 삼각형이므로
□ABFD = □BFEC + □ACED
= ( 이므로)
=
=
따라서
피타고라스 증명법 (08)
그림과 같이 선분 DE의 연장선에 가 되도록 점 F를 잡는다.
△ABC와 △AFE는 합동이므로
□ACDE=□ABDF=
□ABDF
따라서
피타고라스의 수
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피타고라스의 정리 다양한 증명 방법 45가지 입니다.
http://user.chol.com/~badang25/pythagoras/pythago_000.htm
피타고라스 증명은 독창적인 방법을 개발하는 것이 학부 교양 2학년 실력으로는 만만하지 않습니다.
일반적으로 수학 전공의 석사급 논문이 되면 새로운 증명방법에 대해 언급하기 시작한다고 알고 있습니다.
따라서 알려진 방법 이외의 방법을 고안한다는 것은 감점의 부담이 크다고 보입니다.
(전세계를 통틀어 고등학교때나 대학교때 숙제로 난제를 해결하는 증명방법을 개발했다면 수학사에서 필즈상은 노려볼만 하다고 알고 있습니다. 이시기에 새로운 증명방법만 개발해도 동네 천재는 된다고 알고 있습니다.)
중간고사(과제)에서 30점 만점을 받지 못하면 기말에서 수학은 제시간에 풀기가 어렵기 때문에 감점요소가 발생할 수 있어
학점 취득에 어려움이 많습니다.
독창적인 풀이법이라는 전제가 학부 2학년 교양수준에는 상당히 어렵습니다.
학과 튜터선생님도 피타고라스 정리에 대하여 뾰족한 답을 못 주시던데 피타고라스 정리의 증명에 대한
교수님의 평가지침을 알고 싶습니다.
방송대는 학교 다니기 이전에 박사따고 다른대학교수님들도 계시기 때문에 전공학부 졸업예정자자이상 기준으로 평가를 하시면
학력 편차가 심해서 만학하시는 분들은 포기하실 수 밖에 없습니다.
튜터강의때 수학의 이해 도저히 책에도 안나오는 질문이라 감을 못잡겠다고 하는 분들이 계셔서 교수님께 문의드립니다.
일반대 과제야 적당하게 인터넷 뒤져서 인용처도 안밝히고 답안 짜집기 도둑질 하면 점수 나오지만
방송대는 과제 작성시 숙제를 사서 무단 전제해서 제출할 경우(인원이 워낙 많아 숙제를 파는 업자도 있습니다.)
이를 적발할 경우 무조건 과락이나 학사경고를 받도록 되어 있습니다.
심지어 중간고사나 기말고사때 부정행위 하지 말라고 총장님께서 직접 방송까지 하십니다.
출제하신 교수님의 입장에선 2점 정도 깎아도 되겠다고 하실 지 모르겠지만
50살 넘어서 대학원을 꿈꾸시는 분들께는 2점은 치명적입니다.
독창적인 증명방법에 대한 적합한 평가지침에 대해 교수님의 고견을 구합니다.
무엇을 중심으로 봐야 하는지 알려주시면 학우들끼리 스터디를 해서라도 따라가도록 하겠습니다.
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