Top 29 케플러 법칙 증명 The 169 Top Answers

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케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다. 이체문제 가정 하에 질점 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 을 행성, 질점 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다.

케플러 법칙에 숨어있는 수학 [핫클립] / YTN 사이언스

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케플러(Kepler) 법칙의 증명

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케플러의 법칙

제2법칙 면적 속도 일정의 법칙

제3법칙 조화의 법칙

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법칙의 발견

뉴턴의 증명

현대적인 증명

주석

케플러(Kepler) 법칙의 증명

케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.

케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다.

케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다.

이체문제 가정 하에 질점 $m$ 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 $m$ 을 행성, 질점 $M$ 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다.

케플러의 제2법칙은 질점 $M$ 과 질점 $m$ (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을 휩쓸고 지나간다는 면적속도 일정의 법칙이다.

이 법칙에 의하면 질점 $m$ 의 속도는 질점 $M$ 에 가까운 지점에서는 빠르고 먼 지점에서는 느리게 된다.

다음 그림과 같이 짧은 시간 $dt$ 동안 질점 $m$ 의 위치가 $\vec{r}(t)$ 에서 $\vec{r}(t+dt)$ 로 $d\vec{r}$ 만큼 이동했다고 가정하자. 이 때 질점 $M$ 과 질점 $m$ 을 연결한 선이 휩쓸고 간 면적이 $dA$ 이다.

$dA$ 는 $\vec{r}(t), \vec{r}(t+dt), d\vec{r}$ 을 변으로 하는 삼각형의 면적이므로 다음과 같이 주어진다.

\[ dA= \frac{1}{2} \left| \vec{r} \times d\vec{r} \right| \tag{1} \]
여기서 $d\vec{r}= \vec{v} dt$ 이므로, 위 식에 대입하면

\[ dA= \frac{1}{2} \left| \vec{r} \times \vec{v} dt \right| = \frac{1}{2} \left| \vec{h} \right| dt \tag{2} \]
가 된다. 여기서 $\vec{h}$ 는 단위 질량당 각운동량 벡터이다. 이제 양변을 $dt$ 로 나누면

\[ \frac{dA}{dt} = \frac{h}{2} = \mbox{constant} \tag{3} \]
가 되므로 케플러의 제2법칙이 증명된다.

케플러의 제3법칙은 질점 $m$ (행성)의 공전주기의 제곱은 궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다는 조화의 법칙이다.

제3법칙은 다른 법칙과는 달리 원 또는 타원궤도에만 적용이 된다. 원궤도는 타원궤도의 특별한 경우이므로 아래 그림과 같이 타원궤도만을 가정하도록 하자.

먼저 케플러의 제2법칙인 식 (3)의 양변을 적분한다.

\[ \int_0^A dA = \int_0^T \frac{h}{2} \ dt \tag{4} \]
여기서 $A$ 는 타원궤도의 면적이며 $T$ 는 타원궤도를 일주하는데 걸리는 시간인 주기(period)이다. 각운동량은 상수이므로 위 식을 적분하고 타원궤도의 면적이 $A=\pi ab$, 각운동량의 크기는 $h=\sqrt{\mu p}$ 임을 고려하면, 주기는 다음과 같이 계산된다.

\[ T= \frac{2A}{h} = \frac{2 \pi ab}{ \sqrt{\mu p}} \tag{5} \]
여기서 $b=a \sqrt{1-e^2}$ 이고, $p=a(1-e^2)$ 이므로 위 식에 대입하면

\[ T= \frac{ 2 \pi a^2 \sqrt{1-e^2 }}{ \sqrt{ \mu a(1-e^2) }} = \frac{2 \pi }{ \sqrt{\mu}} a^{\frac{3}{2}} \tag{6} \]
가 되어서, 주기의 제곱은 장반경의 세제곱에 비례함을 알 수 있다.

케플러의 법칙유도

일단 케플러 법칙에 대해서 간단히 소개 하겠습니다.

케플러의 1법칙, 타원의 법칙 (1609년) : 행성궤도는 태양을 초점으로 하는 타원이다.

케플러의 2법칙, 등면적 법칙 (1609년) : 태양과 행성을 잇는 직선은 행성이 태양주위에서 궤도운동을 할때 같은 시간동안 같은 면적을 지나간다.

케플러의 3법칙, 조화의 법칙 (1618년) ‘ 행성주기 ‘ 의 제곱은 ‘ 행성궤도의 반장축’ 의 세제곱 에 비례한다.

※ 반장축 : 타원의 제일 긴 지름의 절반. 장반경이라고도 한다.

케플러1법칙을 증명하는건 뉴턴시대 당시엔 무지하게 어려 웠습니다.(그당시엔 미적분이 없었음)

1684년 여름에 헬리가 뉴턴에게 역제곱 힘을 받는 행성의 궤도는 어떻게 될지 물었을때 뉴턴이 그 즉시 ‘타원’ 이라고 말해서 헬리를 놀라게 했었죠^^

그당시 여러사람들이 타원궤도를 도는 행성은 역제곱 힘을 받을거라고 추측하였으나 수학적으로 증명 하지 못했죠.

뉴턴은 이미 그당시에 미적분을 알고 있었고, 헬리가 왜 타원궤도가 되냐고 물으니깐,

” 내가 옛날에 이미 계산을 해보았네^ㅠ^ ”

라고 무조건반사(?)로 대답할정도니 그 당시 사람들에겐 괴물로 보였을듯…-.=

물론 현대의 우리가 보기에도 미적분을 안쓰고 오직 유클리드 기하학 만으로 증명한게 더 괴물로 보이는…-_-a

(전 프린시피아 사놓고 약간 보다가 때려친..ㅠㅠ)

케플러 법칙들은 모두

1. 뉴턴의2법칙 : F = ma

2. 뉴턴의중력법칙 : F= GMm/r²

두가지 법칙으로 부터 수학적으로 증명이 됩니다. (증명에서 쓰이는 수학은 벡터해석(벡터미적분)을 사용합니다.)

따라서 케플러 법칙은 사실 법칙이 아니라 케플러 정리라고 불러야 옳습니다.(기본법칙으로 부터 유도가 되므로…)

하지만 뉴턴의 프린시피아보다 케플러가 먼저 발표해서 케플러정리가 법칙으로 불려지게 되었죠ㅎ

(케플러 법칙이란 용어는 수백년간 관용적으로 굳어져서 앞으로도 안바뀔듯;;)

먼저 케플러 2법칙. 등면적의 법칙을 증명해 보겠습니다.(케플러 법칙을 증명하는 순서는 2->1->3 순서로 합니다.)

케플러 2법칙은 중력이 중심력(두 물체 사이에 작용하는 힘이 두 입자의 선을 잇는 방향으로 작용하는 힘) 이기 때문에 나오는 결과 입니다.(굳이 역제곱 법칙이 아니여도… 예를들어 역세제곱 법칙이였어도 성립합니다.)

현대의 물리용어로 말하면

“태양에 대한 행성의 각운동량은 보존된다.”

라고 말할수 있습니다.

증명을 이해할려면 대학교 1학년때 배우는 미분적분학 책에 나오는 벡터해석파트를 공부해야하는데…(또는 수리물리의 벡터해석 파트)… 그냥 알고 있다고 가정하고 증명하겠습니다…-_-aa 이거 설명할려면 케플러 법칙증명이 아닌 벡터해석 공부가 되므로…ㄱ-..

깔끔하게 증명되었습니다.

여기서 각운동량의 방향도 항상 일정하므로, 행성은 항상 평면운동을 한다는것도 알 수 있습니다.

이제 케플러 1법칙. 타원의 법칙을 증명하겠습니다.

보통 물리과에서 배우는 책에는 궤도운동방정식을 먼저 유도하여 증명하는데 저는 오로지 벡터해석을 이용하여 바로 증명해 보이겠습니다. (유도에는 james stewart 미적분책을 약간 참고 하였습니다.)

마지막 2 식은 원뿔곡선의 극좌표 표현입니다.

고등학생이라면 이게 무슨 타원궤도의 증명이야? 라고 말할수 있겠으나…-_-..

저런식으로 표현되는 곡선은 반드시 원,타원,포물선,쌍곡선 중 하나여야 합니다.

그런데 포물선,쌍곡선을 그린다면 이미 행성이 아니므로…(물론 그런 천체도 있겠지만…)

일반적으로 행성의 궤도는 타원이라고 말할 수 있는 것입니다.(타원은 원을 포함)

마지막으로 케플러3법칙인 조화의 법칙을 증명해 보이겠습니다.

보통 대학1학년 가서 일반물리학 시험을 보면 원궤도일때 케플러3법칙을 유도하라는 문제가 간혹 나옵니다.

2~3 줄이면 증명이 되니 잠시 써보겠습니다.

————– (원궤도 에서의) 케플러 3법칙의 증명 —————

중력 = 구심력 에서,

F = GMm/r² = mv²/r

∴ v = √(GM/r)

이식을 T = 2ㅠr / v 에 대입하면, T² = (4ㅠ²/GM) r ³ 인 케플러 3법칙이 증명됩니다.

—————————————————————-

다시 본론으로 돌아와서…

일반적인 타원의 경우에 증명해 보겠습니다.

증명은 케플러 2법칙으로 부터 시작합니다.

그리고 일반적인 타원의 성질을 이용하였습니다.

전 이심률이고 뭐고 그런 용어 안썼습니다…..-_-

참고로 여기서 a가 반장축 입니다

케플러의 법칙 유도하기

케플러의 법칙

16~17세기, 케플러는 관측 기록으로부터 태양계 행성의 운동을 설명하는 3가지 법칙을 발견해냈다.

1. 행성들의 궤도는 타원 모양이다 (타원 궤도의 법칙)

2. 태양과 행성을 잇는 선이 시간당 쓸고 지나가는 면적은 일정하다 (면적 속도 일정의 법칙)

3. 행성이 궤도를 한 바퀴 도는 주기의 제곱은 타원의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다 (조화의 법칙)

케플러는 관측에 의존해서 이러한 법칙들을 이끌어냈다. 하지만 우리에게는 뉴튼의 만유인력과 여러 수학적인 도구가 있다. 케플러의 법칙들을 유도해보자.

제2법칙: 면적 속도 일정의 법칙

우선 가장 유도하기 쉬운 제2법칙에서 출발하자. 우리는 행성의 운동을 나타내기 위해 태양을 원점으로 하는 극좌표계를 이용할 것이다. 행성의 위치를 나타내는 벡터를 $\vec{r}$이라고 두자. 시간 $dt$동안 쓸고 지나가는 면적을 $dA$라고 하면, $$dA=\frac{1}{2} \left\vert \vec{r} \times d\vec{r} \right\vert$$이다. 그러면 면적 속도 $\frac{dA}{dt}$는 $$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left\vert \vec{r} \times \frac{d\vec{r}}{dt} \right\vert = \frac{1}{2} \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert$$로 구할 수 있다.

이제 $\left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert$가 일정하다는 것을 보이면 된다. 시간에 대해 미분했을 때 $0$이 됨을 보이면 될 것이다. $$\frac{d}{dt} \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert = \left\vert \vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times \vec{a} \right\vert$$

평행한 벡터의 외적은 $0$이므로, $\vec{v} \times \vec{v} = 0$이다. 그리고 행성에 작용하는 힘은 언제나 태양, 즉 원점을 향하기 때문에, 위치 벡터와 가속도 벡터도 평행하다. 즉, $\vec{r} \times \vec{a} = 0$이다. 그러므로, $$\frac{d}{dt} \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert = \left\vert \vec{v} \times \vec{v} + \vec{r} \times \vec{a} \right\vert = 0$$

각운동량의 보존

케플러 제2법칙이 기하학적인 관점에서는 면적 속도 일정의 법칙으로 나타나지만, 물리적인 관점에서는 각운동량의 보존으로 볼 수 있다. 각운동량은 $$\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$$로 정의된다. ($\vec{p}=$는 운동량) 그런데 운동량은 $m\vec{v}$이므로, $$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = m (\vec{r} \times \vec{v})$$으로 표현할 수 있다. 어딘가에서 본 식이 아닌가? 위에서와 같은 논리로, $\frac{d\vec{L}}{dt}=0$을 유도할 수 있다. 즉, 행성의 궤도 운동에서 각운동량은 보존된다. $$l=\frac{L}{m} = \left\vert \vec{r} \times \vec{v} \right\vert$$로 정의하자. 질량과 각운동량 둘 다 변하지 않으므로, $l$도 일정하다. 그러면 $$\frac{dA}{dt} = \frac{l}{2}$$이므로, 면적 속도 일정의 법칙 또한 자연스럽게 유도된다.

극좌표계와 직교 좌표계의 변환을 이용하면, $$\vec{r} \times \vec{v} = \vec{r} \times (\dot r \hat{r} + r \dot\theta \hat{\theta}) = mr^2 \dot\theta \hat{r} \times \hat{\theta}$$이므로, $l=r^2 \dot\theta$임을 알 수 있다.

제1법칙: 타원 궤도의 법칙

태양이 행성에 작용하는 힘이 거리에 의해 결정된다고 가정하고, 그 크기를 $f(r)$이라고 하자. (만유인력의 법칙에 따르면, $f(r)=\frac{GMm}{r^2}$지만 보다 일반적인 식을 유도하기 위해 $f(r)$로 놓을 것이다) 운동 방정식을 세우면, $$m \ddot{\vec{r}} = f(r) \hat{r}$$이다. 그리고 극좌표계와 직교 좌표계의 변환으로부터 $$\ddot{\vec{r}} = (\ddot r – r \dot\theta^2) \hat{r} + (2 \dot r \dot \theta + r \ddot \theta ) \hat{\theta}$$이므로, 두 개의 스칼라 방정식을 얻을 수 있다. 그 중, $\hat{r}$ 성분의 방정식 $$m (\ddot r – r \dot\theta^2) = f(r)$$만을 고려하자. ($\hat{\theta}$ 성분의 방정식으로부터는 제2법칙과 동등한 결과를 얻을 수 있다.)

식을 $r$에 대한 방정식으로 나타내기 위해, $\dot\theta$를 제거하자. $l=r^2 \dot\theta$의 관계를 이용하면 $\frac{1}{r}$ 항이 나올 것이다. $u=\frac{1}{r}$로 치환하여 방정식을 풀자. 그러면 $\dot\theta = l \frac{1}{r^2} = lu^2$이다. 그리고 $\ddot r$을 $u$에 대해 나타내자. $$\dot r = -\frac{1}{u^2} \dot u = -\frac{1}{u^2} \frac{d\theta}{dt} \frac{du}{d\theta} = -l \frac{du}{d\theta}$$ $$\ddot r = -l \frac{d^2 u}{d\theta^2} \frac{d\theta}{dt} = -l \dot\theta \frac{d^2 u}{d \theta^2} = -l^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \theta^2}$$ 이제 원래의 식의 $\ddot r$과 $\dot\theta$를 $u$에 대한 식으로 바꾸면, $$m(-l^2 u^2 \frac{d^2 u}{d \theta^2} – \frac{1}{u} (lu^2)^2) = f(\frac{1}{u})$$를 얻을 수 있다. 정리하면, $$\frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = -\frac{1}{ml^2 u^2} f(\frac{1}{u})$$이다. 힘을 나타내는 $f(r)$이 주어지면 이 방정식을 풀어 궤도를 구할 수 있다.

그러면 거리의 제곱에 반비례하는 인력이 작용하는, 중력과 같은 상황을 고려하자. 편의상 $k=GMm$으로 놓고, $f(r)=-\frac{k}{r^2} = -ku^2$로 표현하자. 위의 방정식에 대입하면 $$\frac{d^2 u}{d \theta^2} + u = -\frac{1}{ml^2 u^2} (-ku^2) = \frac{k}{ml^2}$$를 얻는다. 오른쪽이 상수항이므로, 단순조화진동과 같은 방식으로 방정식을 풀 수 있다. 초기 조건에 의해 결정되는 상수 $A$와 $\theta_0$에 대해, $$u=A \cos(\theta – \theta_0) + \frac{k}{ml^2}$$로 표현된다. 역수를 취하면, $$r = \frac{1}{A \cos(\theta – \theta_0) + \frac{k}{ml^2}} = \frac{\frac{ml^2}{k}}{1+\frac{ml^2 A}{k} \cos(\theta – \theta_0)}$$이다. 이는 이차곡선(Wikipedia)의 극좌표 방정식과 같은 꼴이다. 이심률 $\epsilon=\frac{ml^2 A}{k}$에 의해 궤적이 결정된다. 그리고 우리는 행성과 같이 반복해서 궤도를 그리는 경우를 고려하므로, 원($\epsilon=0$) 또는 타원($\epsilon<1$) 궤도가 가능하다. (태양계에 한 번만 찾아오고 다시 멀리 떠나버리는 혜성의 경우 포물선 또는 쌍곡선 형태의 궤적을 그릴 것이다.) 제3법칙: 조화의 법칙 제2법칙에서 $$\dot A = \frac{1}{2} l$$을 유도했다. 그리고 제1법칙에 의해 궤도는 타원이므로, 행성이 한 바퀴를 도는 동안 쓸고 지나간 면적에 타원의 넓이를 구하는 공식을 적용할 수 있다. 긴반지름 $a$, 짧은반지름 $b$인 타원의 넓이는 $\pi a b$이다. 행성의 주기를 $\tau$라고 하면 $\dot A$가 일정하므로 $$A = \dot A \tau = \frac{1}{2} l \tau$$로 넓이를 구할 수 있다. 즉, $$\frac{1}{2} l \tau = \pi a b$$인 것이다. $a$와 $b$를 연결해주는 식에는 제곱근이 포함되므로, 편의를 위해 양변을 제곱하자. $$\frac{1}{4} l^2 \tau^2 = \pi^2 a^2 b^2$$ $b^2 = (1-\epsilon^2) a^2$이므로, $$\tau^2 = \frac{4\pi^2}{l^2} a^2 (1-\epsilon^2) a^2 = \frac{4\pi^2}{l^2} (1-\epsilon^2) a^4 = \frac{4\pi^2}{l^2} (1-\epsilon^2) a^4$$이다. 이제 타원의 기하학적인 성질을 이용해서 정리하는 일만 남았다. 궤도에 대한 식에서 $\theta-\theta_0=\pm \frac{\pi}{2}$인 경우(초점을 지나고 장축에 수직)를 고려하자. 이 때, $\cos (\theta-\theta_0) = 0$이므로, $$r=\frac{ml^2}{k}$$가 된다. 그리고 타원의 성질로부터 $$r=(1-\epsilon^2) a$$임도 알려져 있다. $1-\epsilon^2$에 대해 정리하면, $$1-\epsilon^2 = \frac{ml^2}{ak}$$이고, 위에서 구한 주기의 제곱에 대한 식에 대입하면 $$\tau^2 = \frac{4\pi^2}{l^2} \frac{ml^2}{ak} a^4 = \frac{4\pi^2 m}{k} a^3$$으로, 우리가 구하고자 한 비례 관계를 확인할 수 있다.

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