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2022 수능 수학영역 미적분 29번과 30번 풀이
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[2022수능] 수학 고난도 문항 어떻게 나왔나.. 미적분 30번 – 베리타스알파
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![[2022수능] 수학 고난도 문항 어떻게 나왔나.. 미적분 30번 - 베리타스알파](http://www.veritas-a.com/news/thumbnail/202111/397500_300433_3936_v150.jpg)
2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설
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18년 수능 가형 30번 문제 :: winner
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18년 수능 가형 30번 문제
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2021학년도 수능 수학 가형 30번::::수학과 사는 이야기
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2021학년도 수능 수학 가형 30번
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2022 수능 수학영역 미적분 29번과 30번 풀이
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2022 수능 수학영역 미적분 29번과 30번 풀이
2022 수능 수학영역 미적분 29번과 30번 풀이
29번과 30번 풀이입니다. 미적분에서 29번이 시간을 더 많이 잡아먹은 것 같습니다. 오래걸렸네요.
2022학년도 수능 수학영역 미적분 29번 풀이입니다. 세타에 관한 식으로 모든 것을 나타내고 극한값을 구하는 문제입니다. 이문제는 항상 출제 되는 것 같습니다. 먼저 f(세타) 부터 구해줬습니다. 반원이니까 지름을 지나는 삼각형은 직각임을 표시해 주면서 풀어줍니다. 직각삼각형을 찾으면 좋은게 사인이나 코사인 세타로 표현을 해줄 수가 있기 때문입니다. 모든 변을 삼각함수 식으로 나타내야 겠지요. 그리고 활꼴부분에 넓이를 구해주고 삼각형 넓이를 구해서 더 해줍니다. 그러면 f(세타)의 식은 나타낼 수 있고요.
그 다음에 g(세타)의 식을 나타내야 합니다. 사인법칙이 쓰입니다. 정삼각형의 넓이를 구해야 하므로 정삼각형 한변의 길이를 알아야 합니다. 그걸 구하기 위해 열심히 식을 세워주고요. 식이 은근히 지저분 한데 여기서 0/0꼴이 보이면 어차피 극한값을 구할 거니까 미리 구해 버립니다. 저 식까지 쓰면 너무 지저분해요~ 그래서 1/3은 미리 구해주고 식을 정리해줍니다. 그래도 지저분 하네요. ㅎㅎ
2022학년도 수능 수학영역 미적분 29번
이제 마무리 입니다. 식을 극한값 구하는 곳에 다 넣고 풀어줍니다. 그러면 답이 나오게 되네요.
상당한 시간이 걸리는 문제입니다. 미적분이나 기하나 시간이 부족했을 것 같네요. 불불불 수능 답습니다.
2022학년도 수능 수학영역 미적분 30번 풀이
29번 푸느라 칸이 부족해서 따로 갖고 와서 풀었습니다. 입시 상담하는 수험생분 중에 미적분 푼 수험새들 보면 100점도 꾀 있던데 정말 대단합니다. 저는 풀 때 시간은 따로 안 재서 푸니까 여유라도 있지 시간의 압박을 견디며 척척 풀면서 100점을 맞다니 대단합니다. 이 문제는 정적분 문제입니다. 역시 미분으로 어렵게 30번에 나오는 것 보다는 조금 쉬운 느낌입니다. 29번이 오래 걸려서 30번을 이렇게 냈나 싶었어요. 부분적분을 써서 뭘 구해야 하는지 파악합니다. 1부터 8까지 정적분을 구해야 하네요. 그러면 나의 식을 이용해 x에 대입을 해봅니다. 그러면 1,2,4,8에서 y=x와 만남을 알 수 있습니다. 역함수가 나오면 당연히 y=x를 생각해 내야 합니다. 그래서 그래프를 증가하고 미분가능한 함수처럼 그려줍니다 부드럽게요. 그리고 정적분을 치환적분을 좀 써가면서 풀어줍니다. 그러면 각 구간에 넓이를 구할 수 있습니다. 그래서 넓이를 더 해서 부분적분 한 식에 넣어주면 답이 나오게 되겠습니다.
미적분은 드디어 끝났습니다. 이제 기하만 남았는데요. 입시를 올리면서 기하도 조만간 올리지 않을까 싶습니다.
수험생 여러분들 수고 하셨습니다.
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2021학년도 수능 수학 가형 30번 해설
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30번 문항 역시 어렵습니다. 그런데 이번 30번의 특징은 꽤나 특별합니다. 이런 류의 문제는, 수학을 정말 잘하는 최상위권은 오히려 금방 풀어내는 문제지만, 다수의 학생들은 건드려볼 시간도 없었을 것이고 풀어내기 까다롭습니다. 게다가 마지막에 $f(x)$ 를 결정하는 식 세우는 방법이 일종의 테크닉인데, 최근 기출문제에서도 제 기억이 맞다면 2020학년도 6월 평가원 (가)형 21번에 쓰였던 것 말고 없었던 것 같습니다. 이 때문에 시험장에서 30번을 맞았다면 거의 1등급일 가능성이 농후할 듯 싶습니다. 총체적으로 이번 수학 (가)형은 어려운 시험이 맞습니다. 시간이 흐름에 따라 서서히 수능 난이도도 상향 평준화 되는 듯 합니다.
1. (가) 조건
(가)조건에 의하면 실수 전체에서 정의된 함수 $g(x)$의 극대가 되는 $x$의 개수가 열린구간 $(0,1)$에서 $3$이라 했으니, 일단 미분을 해봐야 합니다.
$$\begin{align*} g'(x)=f(\mathrm{sin}^2\pi x)&=f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,2\,\mathrm{sin}\pi x \cdot \mathrm{cos}\pi x\cdot \pi
\\&=\pi f'(\mathrm{sin}^2\pi x)\,\mathrm{sin}2\pi x \end{align*}$$
극대를 찾기 위해 $g'(x)=0$ 이 되는 $x$값을 찾아야겠죠? 일단 함수를 두 부분으로 쪼갰을 때 $\mathrm{sin}2\pi x=0$ 을 먼저 조사하면, 이는 주기가 $1$인 사인함수이므로 아래 [그림 1]과 같이
[그림 1]$x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 에서 부호가 한 번 바뀝니다. 그런데 극대가 되는 $x$의 개수가 3이라고 했네요. 극대는 증가하다가 감소하는 곳에서 발생하므로, 다시말해 도함수의 부호가 양수에서 음수가 될 때에 해당합니다. 이를 만족하기 위해서는, 도함수의 부호가 $$+\rightarrow -\rightarrow + \rightarrow – \rightarrow + \rightarrow -$$
로 증가 – 감소 – 증가 – 감소 – 증가 – 감소로 5번이 바뀌어야 합니다. 따라서 도함수를 그렸을 때 도함수의 근(중근이 아닌 근)이 5개 존재한다는 뜻이죠. 그런데 $g'(x)$에서 우리는 $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ 하나만 찾았으니, $f'(\mathrm{sin}^2\pi x)$ 에서 4개의 근이 나와야 한다는 결론을 얻습니다.
$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=0$ 이 되는 $x$값은 당연하게도 치환(Substitution)을 사용해야 합니다. 치환은 수학에서 손에 꼽힐 정도로 아주 강력한 도구입니다. 고등학교 수준에서는 합성함수가 나왔을 때 십중팔구 치환을 이용하는게 짱입니다. 이번 수능 28번 문제도 합성함수이고, 30번도 합성함수입니다. 모두 치환을 이용해서 풀어야 하는 문제이지요. 치환을 할 때는 근의 모양과 범위가 바뀐다는 사실만 주의깊게 기억하고 사용하면 됩니다. 치환 후에는 다음과 같이 이차함수의 $x$절편을 찾는 문제로 귀결됩니다.
$$f'(\mathrm{sin}^2\pi x)=f'(t)=0$$
$f(x)$가 최고차항 계수가 1인 삼차함수라 했으니, $f'(x)$는 최고차항 계수가 3인 이차함수입니다. 이 때 이차함수의 근은 $t=\mathrm{sin}^2\pi x$ 이고 $x$의 값이 4개가 나오려면, $f'(t)=0$이 서로 다른 두 실근을 가져야만 함을 알 수 있습니다. $f'(t)=0$이 허근을 가지면 $x$가 존재하지 않고, 중근을 가지면 $x$가 최대 2개까지밖에 안나오기 때문이죠. $f'(t)=0$의 두 근을 $t_1,t_2\;\;(t_1
2021학년도 수능 수학 가형 30번
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올해도 어김없이 30번 문제가 학생들을 힘들게 했다.
30. 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $g(x)=f(\sin^2 \pi x)$가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) $0
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